Voiture démarre de manière aléatoire, problème démarreur ?!

Bonjour à tous, 

Je me permets de venir écrire ici car j'ai du mal à gérer mon problème de démarrage aléatoire. Il y a pas mal de lecture, j'espère restée claire et précise :)

Informations concernant la voiture : Hyundai coupe RD2 2.0L de 2000 de bientôt 360.000 kilomètres.

Définition du problème :

Impossibilité de démarrer la voiture par intermittence, qu'il fasse froid ou chaud, mais avec quand même plus de complications à chaud. J'ai remplacé ma batterie pour être sûr que celle que j'avais n'étais pas en cause ( elle avais 8 ans mais avait une bonne charge ). Cela n'as pas suffit pour régler mon soucis. Quand je veux démarrer, il ne se passe rien hormis le "clac" du relais dans la boîte à fusible dans le compartiment moteur. Si j'allume les phares et l'autoradio, lorsque je tourne la clé pour démarrer, tout se coupe, même l'horloge et tout reviens lorsque je lâche la clé. Je met de côté l'alternateur car celui-ci semble chargé la batterie ( mesures données ensuite ). Lorsqu'elle décide de démarrer, soit elle le fait franchement au quart de tour, soit elle va avoir du mal, comme une batterie faible, elle va mettre un peu plus de temps. Ensuite je vais rouler un peu, m'arrêter en magasin par exemple, le temps de 15-20 minutes, et lorsque je veux démarrer à nouveau, cela devient encore plus compliqué mais démarre quand même. On sent une bonne faiblesse. Et à la troisième fois, par exemple je vais rouler pas mal de temps, environ 30 minutes -1 heure, si je veux redémarrer aussitôt, impossible, juste le "clac" du relais. La première fois qu'elle ma faite cette panne, elle est restée immobilisé 3 jours. J'avais donc bien le "clac" relais, mais le deuxième/troisième jour je l'avais avec en plus un très très léger bruit de "clac-clac-clac" venue surement du démarreur. Il fallait vraiment tendre l'oreille pour l'entendre car très infime comme bruit. Ce n'est que le jour d'après qu'elle décide de partir. Elle a bien fonctionné pendant environ 1 semaine et demi. Depuis quelques jours, rebelotte. Il y a 2 mois je n'avais pas ce soucis, cela c'est produit, si je ne m'abuse, après les canicules que l'ont a pu avoir courant Juillet ou Août. 

Mesure + ce que j'ai fait : 

Batterie ancienne : Bosh 60Ah 540 A. Mesure sans câbles à "vide" : 12,75V Avec câbles : 12,60V  Lors de la tentative de  démarrage : 12,20V --> J'en déduis que du jus part bien jusqu'au solénoïde ?!

Batterie neuve acheté avant-hier : Norauto 60Ah 540 A. Mesure sans câbles après avoir roulé : 12,98V Mesure avec câbles : 12,79V. Je n'ai pas eu le temps de regarder lors du contact mis et lors de la tentative de démarrage avec celle-ci.

Batterie lorsqu'elle réussis à démarrer : environ 14,65V --> J'en déduis que l'alternateur fait son travail.

Batterie débranchée : pendant + ou - 1h pour vider le calculateur --> Rien a changer, toujours le "clac"

En la poussant : --> Rien à changer mais peut-être pas assez d'élan/vitesse, car voiture très lourde.

Cosses changées et graissée.

Je n'ai pas encore testée pour un problème de masse en reliant un câble de démarrage sur la borne "-" et relié à la carcasse moteur.

Serait-ce donc un signe que le solénoïde ou peut-être même le démarreur rende complétement l'âme ? Celui-ci est d'origine. Je ne suis pas capable de me mettre sous la voiture pour tester en tapotant sur le démarreur ou tester en mettant un câble.

Merci beaucoup de m'avoir lu et j'espère trouver un peu d'aide ici ! :)