Démarrage difficile Toyota Corolla D4D 2006 Diesel

Bonjour,

C'est le 2e jour de suite que ma voiture rencontre le même problème au démarrage. Je vous explique.

1er jour matin :
Je démarre le matin au quart de tour sans soucis, mais 2 ou 3 seconde après : ma voiture cale.
(Je commençais à relâcher l'embrayage, je pense donc que j'ai été un peu trop vite...)
Je tente alors de redémarrer mais la voiture tousse, tousse tousse sans démarrer, je coupe !
Je retente à nouveau, et je la laisse tousser en donnant des coups de gaz jusqu'au moment où elle démarre ! Je vais travailler sans plus aucun soucis. la voiture ne cale pas à l’arrêt (stop, feux rouge, etc.)
1er jour Soir :
Sur le parking du travail. Je démarre au quart de tour sans soucis, et rebelote exactement la même chose qu'au matin ! même manip pour redémarrer. Je rentre chez moi.
2e jour Matin :
Exactement la même chose mais cette fois ci elle semble caler plus rapidement. Même manip, j'ai pu aller travailler sans plus de soucis que ça...

Je vais aller voir un garagiste mais auriez-vous un avis de l'origine ou expérience similaire ? Merci à vous

Je n'ai aucun témoin allumé.
J'ai changé l’alternateur il n'y a pas longtemps.