Panne batterie et (ou) alternateur

Bonjour,
la batterie de ma Skoda Fabia (diesel 1,9 TDI 2005) m'a lâché samedi soir. Après avoir fait le plein dans une station, le moteur n'a pas redémarré, la clef de contact ne produisant pas le moindre bruit... cinq minutes plus tard, il devenait même difficile de fermer les fenêtres et le toit ouvrant... le voyant d'alerte du tableau de bord s'est allumé.
Un dépanneur a branché ma batterie sur un chargeur et la voiture a démarré au quart de tour. Je suis reparti après 5 à 10 mn de charge et 50 m plus loin les voyants d'alerte et voyants ABS et antipatinage se sont allumés.
Y a-t-il une chance qu'il n'y ait que la batterie ou l'alternateur est-il forcément en cause ?