Pompe à essence citroen c2

Bonjour à tous,
Alors voici mon problème: ma voiture ne démarre pas quand il fait froid, sinon elle démarre au quart de tour. La dépanneuse est donc venue la chercher, elle est restée trois jours au garage mais une fois au garage elle démarrait donc ils n'ont pas su trouver. Cependant, ils suspectent la pompe à essence, sans vraiment en être sur.
-Ca ne peut pas être la batterie car on sent que le moteur veut partir, tous les voyants s'allument, et elle démarre quand la température extérieure augmente.
-Ca ne peut pas être le démarreur car elle démarre au quart de tour
-Ca ne peut pas être les bougies car elles ne petent pas
-Il ne reste plus que la pompe à essence, que je n'entend pas toujours, et des fois elle fait des bruits différents.

Donc je ne sais pas ce qui fait que des fois ma voiture démarre et d'autre pas, on sent que le moteur veut partir mais quelque chose fait qu'il ne prend pas. Qu'en pensez-vous? Car si je change la pompe à essence et que finalement ce n'est pas ca...